六種冪函數(shù)的圖像及性質(zhì)

如下

冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)：

1.y=x 直線，奇函數(shù)，單調(diào)遞增；

2.y=x平方 拋物線，頂點在原點，開口向上，對稱軸坐標單調(diào)遞減、右邊單調(diào)遞增；

3.y=x立方 立方拋物線，奇函數(shù)，單調(diào)遞增；

4.y=根號x 圖像在第一象限（含原點），單調(diào)遞增；

5.y=x分之一 雙曲線，位于第一、三象限，各自單調(diào)遞減。

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1.正值性質(zhì)

當α>0時，冪函數(shù)y=xα有下列性質(zhì)：

a、圖像都經(jīng)過點（1,1）（0,0）；

b、函數(shù)的圖像在區(qū)間[0,+∞）上是增函數(shù)；

c、在第一象限內(nèi)，α>1時，導數(shù)值逐漸增大；α=1時，導數(shù)為常數(shù)；0<α<1時，導數(shù)值逐漸減小，趨近于0；

2.負值性質(zhì)

當α<0時，冪函數(shù)y=xα有下列性質(zhì)：

a、圖像都通過點（1,1）；

b、圖像在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)；（內(nèi)容補充：若為X-2，易得到其為偶函數(shù)。利用對稱性，對稱軸是y軸，可得其圖像在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞增。其余偶函數(shù)亦是如此）。

c、在第一象限內(nèi)，有兩條漸近線（即坐標軸），自變量趨近0，函數(shù)值趨近+∞，自變量趨近+∞，函數(shù)值趨近0。

3.零值性質(zhì)

當α=0時，冪函數(shù)y=xa有下列性質(zhì)：

a、y=x0的圖像是直線y=1去掉一點（0,1）。它的圖像不是直線。

二、冪函數(shù)圖像及性質(zhì)

性質(zhì)：當α>0時，冪函數(shù)y=xα有下列性質(zhì)：a、圖像都經(jīng)過點（1,1）（0,0）；b、函數(shù)的圖像在區(qū)間[0,+∞）上是增函數(shù)；c、在第一象限內(nèi)，α>1時，導數(shù)值逐漸增大等。

1、定義：一般地，函數(shù)y=xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)。

2、性質(zhì)：α＞0，圖像都過定點（0，0）和（1，1）；在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增；

α＜0，圖像都過定點（1，1）；在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減。

冪函數(shù)圖像的性質(zhì)：

所有冪函數(shù)在(0，+∞)上都有定義．

①α＞0，圖像都過定點（0，0）和（1，1）；在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增；

②α＜0，圖像都過定點（1，1）；在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減;

③當O<a<l時，曲線上凸，當a>l時，曲線下凸．

④當a=l時，圖象為過點(0，0)和(1，1)的直線．

⑤當a=0時， 表示過點(1，1)且平行于x軸的直線(除去點(0，1)) 。

三、冪函數(shù)圖象的其他性質(zhì)：

(1)圖象的對稱性：

把冪函數(shù) 的冪指數(shù)a（只討論a是有理數(shù)的情況）表示成既約分數(shù)的形式（整數(shù)看作是分母1的分數(shù)），則不論a>0還是a<0，冪函數(shù) 的圖象的對稱性用口訣記為：“子奇母偶孤單單；母奇子偶分兩邊；分子分母均為奇，原點對稱莫忘記”，

(2)圖象的形狀：

①若a>0，則冪函數(shù) 的圖象為拋物線形，當a>l時，圖象在[0，+∞）上是向下凸的（稱為凸函數(shù)）；當O<a<l時，圖象在[o，+∞）上是向上凸的（稱為凹函數(shù)）．

②若a<0，則冪函數(shù)y=x“的圖象是雙曲線形，圖象與x軸、y軸無限接近，在(0，+∞)上圖象都是向下凸的。

四、冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性：

對于冪函數(shù) （a∈R)．

(1)單調(diào)性

當a>0時，函數(shù) 在第一象限內(nèi)是增函數(shù)；當a<0時，函數(shù) 在第一象限內(nèi)是減函數(shù)．

(2)奇偶性

①當a為整數(shù)時，

若a為偶數(shù)，則 是偶函數(shù)；若a為奇數(shù)，則 是奇函數(shù)。

②當n為分數(shù)，即 （p，q互素，p，q∈Z）時，若分母q為奇數(shù)，則分子p為奇數(shù)時， 為奇函數(shù)；分子p為偶數(shù)時， 為偶函數(shù)， 若分母q為偶數(shù)，則 為非奇非偶函數(shù)．。