二階微分方程及其解法

通解加C，C代表常數(shù)，特解不加C。

通解是指滿足這種形式的函數(shù)都是微分方程的解，例如y'=0的通解就是y=C，C是常數(shù)。通解是一個函數(shù)族

特解顧名思義就是一個特殊的解，它是一個函數(shù)，這個函數(shù)是微分方程的解，但是微分方程可能還有別的解。如y=0就是上面微分方程的特解。

特解在解非其次方程等一些微分方程有特殊的作用。

擴展資料

微分方程的約束條件是指其解需符合的條件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的約束條件。

常微分方程常見的約束條件是函數(shù)在特定點的值，若是高階的微分方程，會加上其各階導數(shù)的值，有這類約束條件的常微分方程稱為初值問題。

若是二階的常微分方程，也可能會指定函數(shù)在二個特定點的值，此時的問題即為邊界值問題。若邊界條件指定二點數(shù)值，稱為狄利克雷邊界條件（第一類邊值條件），此外也有指定二個特定點上導數(shù)的邊界條件，稱為諾伊曼邊界條件（第二類邊值條件）等。

偏微分方程常見的問題以邊界值問題為主，不過邊界條件則是指定一特定超曲面的值或導數(shù)需符定特定條件。

操作方法

01

1.二階常系數(shù)齊次線性微分方程解法

一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程r2+pr+q=0

特征方程r2+pr+q=0的兩根為r1,r2 微分方程y”+py’+qy=0的通解

兩個不相等的實根r1,r2 y=C1er1x+C2er2x

兩個相等的實根r1=r2 y=(C1+C2x)er1x

一對共軛復根r1=α+iβ,r2=α-iβ y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)

02

2.1.二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法

一般形式: y”+py’+qy=f(x)

先求y”+py’+qy=0的通解y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一個特解y*(x)

則y(x)=y0(x)+y*(x)即為微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解

求y”+py’+qy=f(x)特解的方法:

① f(x)=Pm(x)eλx型

令y*=xkQm(x)eλx［k按λ不是特征方程的根,是特征方程的單根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,確定Qm(x)的m+1個系數(shù)

03

2.2.②f(x)=eλx［Pｌ(x)cosωx+Pn(x)sinωx］型

令y*=xkeλx［Qm(x)cosωx+Rm(x)sinωx］［m=max﹛ｌ,n﹜,k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0或1］再代入原方程,分別確定Qm(x)和Rm(x)的m+1個系數(shù)

04

有關微分方程的題目有很多，不可能一一列舉出來，但我們可以掌握方法，開拓思維，這樣我們的高數(shù)才會得以提高。