笛卡爾心形函數(shù)公式推導(dǎo)

笛卡爾心形函數(shù)是一個(gè)極坐標(biāo)方程，通常寫(xiě)作r=a(1-sinθ)，其中r是到原點(diǎn)的距離，θ是與 x 軸正方向的夾角，a是一個(gè)常數(shù)。

我們可以通過(guò)以下步驟來(lái)推導(dǎo)這個(gè)公式：

首先，考慮一個(gè)半徑為a的圓。在極坐標(biāo)中，圓的方程為r=a，其中r是到原點(diǎn)的距離，a是半徑。

接下來(lái)，我們?cè)趫A上選擇一個(gè)點(diǎn)(r,θ)，并將其與原點(diǎn)相連。這條線(xiàn)段的長(zhǎng)度為r，與 x 軸正方向的夾角為θ。

現(xiàn)在，我們將這個(gè)點(diǎn)沿著圓移動(dòng)，使得它的角度θ從0增加到2π。在這個(gè)過(guò)程中，點(diǎn)的位置會(huì)形成一個(gè)心形的形狀。

為了描述這個(gè)心形的形狀，我們可以考慮點(diǎn)的位置如何隨著角度θ的變化而變化。當(dāng)θ=0時(shí)，點(diǎn)位于 x 軸上，此時(shí)r=a。當(dāng)θ=\frac{π}{2}時(shí)，點(diǎn)位于 y 軸上，此時(shí)r=0。

當(dāng)0<θ<\frac{π}{2}時(shí)，點(diǎn)位于第一象限，此時(shí)r=a(1-sinθ)。這是因?yàn)楫?dāng)0<θ<\frac{π}{2}時(shí)，sinθ是一個(gè)正數(shù)，所以1-sinθ是一個(gè)小于1的正數(shù)，因此r是一個(gè)小于a的正數(shù)。

當(dāng)\frac{π}{2}<θ<π時(shí)，點(diǎn)位于第二象限，此時(shí)r=a(1-sinθ)。這是因?yàn)楫?dāng)\frac{π}{2}<θ<π時(shí)，sinθ是一個(gè)負(fù)數(shù)，所以1-sinθ是一個(gè)大于1的正數(shù)，因此r是一個(gè)大于a的正數(shù)。

當(dāng)π<θ<\frac{3π}{2}時(shí)，點(diǎn)位于第三象限，此時(shí)r=a(1-sinθ)。這是因?yàn)楫?dāng)π<θ<\frac{3π}{2}時(shí)，sinθ是一個(gè)負(fù)數(shù)，所以1-sinθ是一個(gè)小于1的正數(shù)，因此r是一個(gè)小于a的正數(shù)。

當(dāng)\frac{3π}{2}<θ<2π時(shí)，點(diǎn)位于第四象限，此時(shí)r=a(1-sinθ)。這是因?yàn)楫?dāng)\frac{3π}{2}<θ<2π時(shí)，sinθ是一個(gè)正數(shù)，所以1-sinθ是一個(gè)大于1的正數(shù)，因此r是一個(gè)大于a的正數(shù)。

因此，笛卡爾心形函數(shù)的公式為r=a(1-sinθ)，其中r是到原點(diǎn)的距離，θ是與 x 軸正方向的夾角，a是一個(gè)常數(shù)。這個(gè)公式描述了一個(gè)心形的形狀，其中點(diǎn)的位置隨著角度θ的變化而變化。