圓錐曲線萬能弦長公式口訣

弦長公式

弦長公式，在這里指直線與圓錐曲線相交所得弦長d的公式。

公式一

d = √(1+k2)|x1-x2| = √(1+k2)[(x1+x2)2 - 4x1x2] = √(1+1/k2)|y1-y2| = √(1+1/k2)[(y1+y2)2 - 4y1y2]

關(guān)于直線與圓錐曲線相交求弦長，通用方法是將直線y=kx+b代入曲線方程，化為關(guān)于x(或關(guān)于y)的一元二次方程，設出交點坐標，利用韋達定理及弦長公式√(1+k2)[(x1+x2)2 - 4x1x2]求出弦長，這種整體代換，設而不求的思想方法對于求直線與曲線相交弦長是十分有效的，然而對于過焦點的圓錐曲線弦長求解利用這種方法相比較而言有點繁瑣，利用圓錐曲線定義及有關(guān)定理導出各種曲線的焦點弦長公式就更為簡捷。

公式二

d =√[(1+k2)△/a2] =√(1+k2)√(△)/|a|

在知道圓和直線方程求弦長時，可利用方法二，將直線方程代入圓方程，消去一未知數(shù)，得到一個一元二次方程，其中△為一元二次方程中的 b2-4ac ，a為二次項系數(shù)。

補遺：公式2符合橢圓等圓錐曲線 不光是圓。公式/|a|是在整個平方根運算后再進行的……（平方了再除）

2式可以由1推出，很簡單，由韋達定理，x1+x2=-b/a x1x2=c/a 帶入再通分即可……

在知道圓和直線方程求弦長時也可以用勾股定理（點到直線距離、半徑、半弦）。