最小元素法求最優(yōu)解

最小元素法是一種求解線性規(guī)劃問題的方法，其基本思想是在每一次迭代中，選擇目標(biāo)函數(shù)中系數(shù)最小的變量作為進(jìn)入變量，然后通過對(duì)約束條件進(jìn)行計(jì)算，確定離開變量，從而得到新的基本可行解。這個(gè)過程一直進(jìn)行到目標(biāo)函數(shù)不能再優(yōu)化為止，此時(shí)得到的基本可行解就是線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解。

最小元素法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單易懂，容易實(shí)現(xiàn)，而且在求解小規(guī)模的線性規(guī)劃問題時(shí)效率較高。但是，對(duì)于大規(guī)模的線性規(guī)劃問題，最小元素法的效率會(huì)比較低，因?yàn)槊看蔚夹枰獙?duì)所有的約束條件進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算量較大。此外，最小元素法只能求解標(biāo)準(zhǔn)型的線性規(guī)劃問題，對(duì)于非標(biāo)準(zhǔn)型的問題需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化才能使用。

最小元素法是求解線性規(guī)劃問題的一種方法，用于在有限的時(shí)間內(nèi)找到最優(yōu)解。

常見的應(yīng)用場(chǎng)景包括生產(chǎn)計(jì)劃、投資組合等領(lǐng)域。

但是，最小元素法只適用于決策變量為非負(fù)數(shù)的線性規(guī)劃問題，而且也存在著計(jì)算量較大、對(duì)數(shù)據(jù)精度要求高的問題。

此外，最小元素法還可以和其他線性規(guī)劃求解方法進(jìn)行組合，獲取更準(zhǔn)確和高效的結(jié)果。

最小元素法是一種通用的求解線性規(guī)劃問題的方法之一，其思想是沿最小系數(shù)的列（或行）進(jìn)入，選擇比率最小的行（或列）離開，直到達(dá)到最優(yōu)解。

具體步驟如下：

Step 1: 將線性規(guī)劃模型轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)形式，即將約束條件轉(zhuǎn)化為等式形式，并引進(jìn)松弛變量，求出初始可行解。

Step 2: 在所有正的系數(shù)列中，選出目標(biāo)函數(shù)系數(shù)絕對(duì)值最小的一列，記其對(duì)應(yīng)的行為 $r$。

Step 3: 計(jì)算每一個(gè)正比率 $r_i / x_{i,j}$，其中 $i$ 表示第 $i$ 行，$j$ 表示第 $j$ 列，選出比率最小的一行，記其為 $s$。

Step 4: 進(jìn)行基變換，將第 $j$ 列作為新的基變量，第 $i$ 行做為新的基行，并重新計(jì)算其它非基變量的值，從而得到新的可行解。

Step 5: 判斷新的可行解是否滿足要求。

- 如果滿足要求，則回到 Step 2，繼續(xù)迭代。

- 如果不滿足要求，則算法終止，此時(shí)最優(yōu)解為相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值。

需要注意的是，在運(yùn)用最小元素法求解線性規(guī)劃問題時(shí)，如果存在多個(gè)最小系數(shù)列，則需要按照特定的規(guī)則進(jìn)行選擇。而且，最小元素法是一種樸素的線性規(guī)劃算法，不適用于大規(guī)模的線性規(guī)劃問題，實(shí)際應(yīng)用中通常采用更為高效的算法，如單純形法等。

最小元素法是表上作業(yè)法是求解運(yùn)輸問題時(shí)尋找初始可行基的一種簡(jiǎn)便而有效的方法，具體方法就是找出運(yùn)價(jià)表中最小的元素，在運(yùn)量表內(nèi)對(duì)應(yīng)的格填入允許取得的最大數(shù)。