向量的運(yùn)算法則

1、向量的加法；

2、向量的減法；

3、數(shù)乘向量；

4、向量的數(shù)量積；

5、向量的向量積；

6、三向量的混合積。

向量可以用一條有向線段形象地表示，線段的方向表示向量的方向，它的長度稱為向量的模。向量常記為(a→)，(b→)或a，b等。

向量具體運(yùn)算法則：

1、向量的加法：

向量的加法：

向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。

向量的加法OB+OA=OC。

a+b=(x+x',y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的運(yùn)算律：

交換律：a+b=b+a；

結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的減法：

如果a、b是互為相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量為0。

向量的減法：

AB-AC=CB.即“共同起點(diǎn),指向被向量的減法減”

a=(x,y)b=(x',y') 則a-b=(x-x',y-y')。

3、數(shù)乘向量：

實(shí)數(shù)λ和向量a的乘積是一個(gè)向量,記作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與a同方向；

向量的數(shù)乘：

當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a反方向；

向量的數(shù)乘當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0，方向任意。

當(dāng)a=0時(shí),對(duì)于任意實(shí)數(shù)λ，都有λa=0。

注：按定義知，如果λa=0,那么λ=0或a=0。

實(shí)數(shù)λ叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。

當(dāng)∣λ∣＞1時(shí),表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸長為原來的∣λ∣倍；

當(dāng)∣λ∣＜1時(shí),表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上縮短為原來的∣λ∣倍。

數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律：

結(jié)合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).

向量對(duì)于數(shù)的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

數(shù)對(duì)于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

數(shù)乘向量的消去律：① 如果實(shí)數(shù)λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.

4、向量的數(shù)量積：

定義：已知兩個(gè)非零向量a,b.作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角,記作〈a,b〉并規(guī)定0≤〈a,b〉≤π.

定義：兩個(gè)向量的數(shù)量積（內(nèi)積、點(diǎn)積）是一個(gè)數(shù)量,記作a·b.若a、b不共線,則a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共線,則a·b=+-∣a∣∣b∣.

向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：a·b=x·x'+y·y'.

向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：

a·b=b·a（交換律）；

(λa)·b=λ(a·b)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律)；

（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；

向量的數(shù)量積的性質(zhì)：

a·a=|a|的平方.

a⊥b 〈=〉a·b=0.

|a·b|≤|a|·|b|.（該公式證明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因?yàn)?≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|）

向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)：

1、向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2.

2、向量的數(shù)量積不滿足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.

3、|a·b|≠|(zhì)a|·|b|

4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.

5、向量的向量積：

定義：兩個(gè)向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個(gè)向量,記作a×b（這里并不是乘號(hào),只是一種表示方法,與“·”不同,也可記做“∧”）.若a、b不共線,則a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按這個(gè)次序構(gòu)成右手系.若a、b共線,則a×b=0.

向量的向量積性質(zhì)：

∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積.

a×a=0.

a垂直b〈=〉a×b=|a||b|.

向量的向量積運(yùn)算律：

a×b=-b×a；

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

a×（b+c）=a×b+a×c.

注：向量沒有除法,“向量AB/向量CD”是沒有意義的.

6、三向量的混合積：

向量的混合積：

定義：給定空間三向量a、b、c,向量a、b的向量積a×b,再和向量c作數(shù)量積(a×b)·c,

向量的混合積所得的數(shù)叫做三向量a、b、c的混合積,記作(a,b,c)或(abc),即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c。