矩陣的逆的行列式公式推導

矩陣逆矩陣的行列式等于原矩陣行列式的倒數(shù)。

證明如下：

因為 AB=BA=E(單位陣),B是A的逆矩陣.

所以 |AB|=|BA|=1。

當A是方陣時，|AB|=|A||B|,|BA|=|B||A|,

有 |B|=1/|A|。

擴展資料：

逆矩陣的性質定理以及證明

性質定理：

1、可逆矩陣一定是方陣。

2、如果矩陣A是可逆的，其逆矩陣是唯一的。

3、A的逆矩陣的逆矩陣還是A。記作（A-1）-1=A。

4、可逆矩陣A的轉置矩陣AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (轉置的逆等于逆的轉置）。

5、若矩陣A可逆，則矩陣A滿足消去律。即AB=O（或BA=O），則B=O，AB=AC（或BA=CA），則B=C。

6、兩個可逆矩陣的乘積依然可逆。

7、矩陣可逆當且僅當它是滿秩矩陣。

證明：

1、逆矩陣是對方陣定義的，因此逆矩陣一定是方陣。

2、設B與C都為A的逆矩陣，則有B=C。

3、假設B和C均是A的逆矩陣，B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=IC，因此某矩陣的任意兩個逆矩陣相等。

4、由逆矩陣的唯一性，A-1的逆矩陣可寫作（A-1）-1和A，因此相等。

矩陣A可逆，有AA-1=I 。（A-1） TAT=（AA-1）T=IT=I ，AT（A-1）T=（A-1A）T=IT=I。

由可逆矩陣的定義可知，AT可逆，其逆矩陣為（A-1）T。而（AT）-1也是AT的逆矩陣，由逆矩陣的唯一性，因此（AT）-1=（A-1）T。

5、1）在AB=O兩端同時左乘A-1（BA=O同理可證），得A-1（AB）=A-1O=O

而B=IB=（AA-1）B=A-1（AB），故B=O。

2）由AB=AC（BA=CA同理可證），AB-AC=A(B-C)=O，等式兩邊同左乘A-1，因A可逆AA-1=I 。

得B-C=O，即B=C。