直線的參數(shù)方程

是指以參數(shù)形式表示直線上的所有點，通常表示為：$P(t)=P_0+t\vec v$其中，$P_0$是直線上的一個確定點，$\vec v$是直線的方向向量，$t$是參數(shù)，可以取任何實數(shù)值。

將直線的方程表示為參數(shù)方程，可以方便地描述直線上的所有點，特別是在計算直線上的點之間距離和角度等問題時很有用。

和其他形式的方程表示一樣有效，在不同的情況下可能更有效或更方便。

例如，在給定兩個點的情況下，可以使用點斜式方程表示直線，或者如果已知直線的斜率和截距，則可以使用一般式方程。

是指用一個或多個參數(shù)表示直線上的所有點的坐標(biāo)。對于三維空間中的直線，其參數(shù)方程可以用如下形式表示：$L(t) = P_0 + t\vec{v}$，其中 $P_0$ 是直線上的一個已知點，$\vec{v}$ 是直線的方向向量，$t$ 是實數(shù)參數(shù)，表示直線上任意一點的位置。

如果知道直線上其他一點 $Q=(x,y,z)$，則可以求出該點在參數(shù)方程下對應(yīng)的參數(shù)值，即 $t = \dfrac{x-x_0}{v_x} = \dfrac{y-y_0}{v_y} = \dfrac{z-z_0}{v_z}$。

參數(shù)方程是指，你不用去找x和y的關(guān)系了，找x、y和參數(shù)t的關(guān)系就行，那么點也不用x和y表示了，用t。

01

先復(fù)習(xí)一下參數(shù)方程的邏輯，詳情見“圓的參數(shù)方程”。

對于圓，你確定了圓心、半徑之后，可以寫出圓的參數(shù)方程。

對于圓上的點A，只需確定θ，即可表示該點。

02直線呢？

我們用直線傾斜角確定了一排平行直線，再用直線上一點，唯一確定了這條直線。

那如何表示直線上任意一點B？

按照你以前的邏輯，根據(jù)直線斜率和已知點求出方程，

然后知x求y，或者知y求x，但前提是x和y你需要知道一個量，

要是不知道呢，我們怎么表示x和y？

回到圖形本身：

我們把x和y分兩部分，

在ΔABC中，

由此我們考慮，引入|AB|的長度做參數(shù)，寫參數(shù)方程：

那么直線上任意點B(x, y)，即可用它到點A(2,1)的距離|AB|表示。

好，推廣。

對于任意直線，已知傾斜角θ，且過定點A(x0, y0)，則直線上任意點B(x, y)的坐標(biāo)可以寫作：

所有滿足這個方程的點，構(gòu)成了直線l.

構(gòu)成了直線？

看來，要表示直線，|AB|顯然能力不足，我們引入一個帶著方向的量t，

于是我們通過參數(shù)t，把上述①②簡化為

03

現(xiàn)在你看，參數(shù)方程在表示距離方面有天然優(yōu)勢~

敬請期待“參數(shù)方程中的距離公式”

長

是$x=x_0+at$，$y=y_0+bt$，$z=z_0+ct$，其中$(x_0,y_0,z_0)$是直線上一點的坐標(biāo)，$(a,b,c)$是直線的方向向量，$t$是參數(shù)。

這個方程描述的是一個點在直線上的位置，當(dāng)$t$取不同的值時，點沿著直線移動。

因為直線的方向向量是固定不變的，所以$t$的變化決定了點在直線上的位置變化。

這個方程的應(yīng)用非常廣泛，可以用于計算直線上的任意一點的坐標(biāo)，也可以用于計算直線上的兩點之間的距離，同時還可以用于描述直線與平面的交點等等。