射影定理公式及推導(dǎo)公式

定義

在△ABC中，設(shè)∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，則有

a=bcosC+ccosB

b=ccosA+acosC

c=acosB+bcosA

這三個(gè)式子叫做射影定理。[1]

驗(yàn)證推導(dǎo)

定義

在△ABC中，設(shè)∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，則有

a=bcosC+ccosB

b=ccosA+acosC

c=acosB+bcosA

這三個(gè)式子叫做射影定理。[1]

驗(yàn)證推導(dǎo)

①CD2=AD·BD;

②AC2=AD·AB;

③BC2=BD·AB;

④AC·BC=AB·CD

證明：①∵CD2+AD2=AC2,CD2+BD2=BC2

∴2CD2+AD2+BD2=AC2+BC2

∴2CD2=AB2-AD2-BD2

∴2CD2=(AD+BD)2-AD2-BD2

∴2CD2=AD2+2AD·BD+BD2-AD2-BD2

∴2CD2=2AD·BD

∴CD2=AD·BD

②∵CD2=AD·BD(已證)

∴CD2+AD2=AD·BD+AD2

∴AC2=AD·(BD+AD)

∴AC2=AD·AB

③BC2=CD2+BD2

BC2=AD·BD+BD2

BC2=(AD+BD)·BD

BC2=AB·BD

∴BC2=AB·BD

④∵S△ACB=

AC×BC=

AB·CD

∴

AC·BC=

AB·CD

∴AC·BC=AB·CD

定理，又稱“歐幾里德定理”：在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項(xiàng)，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。

射影定理公式及推導(dǎo)過程

影射定理

影射定理，又稱“歐幾里德定理”：在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項(xiàng)，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。射影定理是數(shù)學(xué)圖形計(jì)算的重要定理。

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜邊AC上的高，則有射影定理如下：

BD2=AD·CD

AB2=AC·AD

BC2=CD·AC

由古希臘著名數(shù)學(xué)家、《幾何原本》作者歐幾里得提出。

在△ABC中，設(shè)∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，則有：a=bcosC+ccosB，b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA，這三個(gè)式子叫做射影定理。

射影定理內(nèi)容。

兩式相加得：

AB2+BC2=AD·AC+CD·AC=（AD+CD)·AC=AC2（即勾股定理）。

注：AB2的意思是AB的2次方。

2射影定理證明

已知:三角形中角A=90度。AD是高。

證明1：設(shè)點(diǎn)A在直線BC上的射影為點(diǎn)D，則AB、AC在直線BC上的射影分別為BD、CD，且BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB 同理可證其余。

證明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA. 同理可證其余。