高中向量基本知識(shí)

1．空間向量的概念：

具有大小和方向的量叫做向量

注：⑴空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量

⑵向量一般用有向線(xiàn)段表示，同向等長(zhǎng)的有向線(xiàn)段表示同一或相等的向量

⑶空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線(xiàn)段來(lái)表示

2．空間向量的運(yùn)算

定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算如下

運(yùn)算律：⑴加法交換律：a+b=b+a

⑵加法結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）

⑶數(shù)乘分配律：λ（a+b）=λa+λb

3共線(xiàn)向量

表示空間向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)互相平行或重合，則這些向量叫做共線(xiàn)向量或平行向量a平行于b記作a//b．

當(dāng)我們說(shuō)向量a、b共線(xiàn)（或a//b）時(shí)，表示a、b的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)可能是同一直線(xiàn)，也可能是平行直線(xiàn)．

4．共線(xiàn)向量定理及其推論：

共線(xiàn)向量定理：空間任意兩個(gè)向量a、b（b≠0），a//b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.

推論：如果ι為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量a的直線(xiàn)，那么對(duì)于任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線(xiàn)ι上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t 滿(mǎn)足等式 OP=OA+ta．

其中向量a叫做直線(xiàn)ι的方向向量.

5．向量與平面平行：

已知平面α和向量a，作OA=a，如果直線(xiàn)OA平行于α或在α內(nèi)，那么我們說(shuō)向量α平行于平面α，記作：a//α．

通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量

說(shuō)明：空間任意的兩向量都是共面的

6．共面向量定理：

如果兩個(gè)向量a，b不共線(xiàn)，P與向量a，b共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)x，y使P=xa+yb

推論：空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x，y，使MP=xMA+yMB或?qū)臻g任一點(diǎn)O，有OP=OM+xMA+yMB ①

①式叫做平面MAB的向量表達(dá)式

7 空間向量基本定理：

如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p=xa+yb+zc

推論：設(shè)O,A,B,C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x，y，z，使OP=xOA+yOB+zOC

8 空間向量的夾角及其表示：

已知兩非零向量a，b在空間任取一點(diǎn)O，作OA=a，OB=b則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作<a，b>；且規(guī)定0≤<a,b>≤π，顯然有<a,b>=<b,a>；若<a,b>=π/2，則稱(chēng)a與b互相垂直，記作：a⊥b.

9．向量的模：

設(shè)OA=a，則有向線(xiàn)段OA的長(zhǎng)度叫做向量a的長(zhǎng)度或模，記作：|a|.

10．向量的數(shù)量積： a·b=|a|·|b|·cos<a,b>．

已知向量AB=a和軸ι，e是ι上與ι同方向的單位向量，作點(diǎn)A在ι上的射影A'，作點(diǎn)B在ι上的射影B'，則A'B'叫做向量AB在軸ι上或在e上的正射影.

可以證明A'B'的長(zhǎng)度|A'B'|=|AB|cos<a,e>=|a,e|．

11．空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：

（1）a·e=|a|cos<a,e>．

（2）a⊥b<=>a·b=0．

（3）|a|2=a·a．

12．空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：

（1）（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）．

（2）a·b=b·a（交換律）

（3）a·（b+c）=a·b+a·c（分配律）。