二項(xiàng)式定理的應(yīng)用公式

一、二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

1、二項(xiàng)式定理

對(duì)于任意正整數(shù)n，都有

(a+b)n=Cn0an+Cn1an?1b+?+Cnkan?kbk+?+Cnnbn。這個(gè)式子叫做二項(xiàng)式定理，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做

(a+b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式，其中各項(xiàng)的系數(shù)

Cnk(k∈0,1,2,?,n)叫做二項(xiàng)式系數(shù)。

2、二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)

二項(xiàng)展開(kāi)式的第k+1項(xiàng)

Tk+1=Cnkan?kbk(k∈0,1,2,?,n)叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)。

注：（1）通項(xiàng)是二項(xiàng)展開(kāi)式的第k+1項(xiàng)，而不是第k項(xiàng)。

（2）字母b的指數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同，與a與b的指數(shù)之和為n。

（3）展開(kāi)式中第k+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

Cnk與第k+1項(xiàng)的系數(shù)不一定相等，只有在特殊情況下，它們的值才相等。

（4）求常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)時(shí)，一般要根據(jù)通項(xiàng)公式對(duì)k進(jìn)行討論。

3、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

（1）對(duì)稱(chēng)性

與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即

Cnm=Cnn?m(n=0,1,2,?,n)。

（2）增減性與最大值

增減性：當(dāng)

k<n+12時(shí)，

Cnk是逐漸增大的；當(dāng)

k>n+12時(shí)，

Cnk是逐漸減小的，且在中間取得最大值。

最大值：當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為

Cnn2；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為

Cnn?12，

Cnn+12。

4、二項(xiàng)式系數(shù)和

(a+b)n的展開(kāi)式中，各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)和等于

2n，即

Cn0+Cn1+Cn2+?+Cnn=2n。

二項(xiàng)展開(kāi)式中，各偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于各奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和，即有

Cn1+Cn3+Cn5+?=Cn0+Cn2+Cn4+?=2n?1。

二、二項(xiàng)式定理的相關(guān)例題

(x2?3x)6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)__

A．603

B．63

C．135

D．45

答案：C

解析：

(x2?3x)6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為

C64(?3)4=135，故選C。