數(shù)軸兩點之間距離公式推導(dǎo)

(一)數(shù)軸上兩點之間的距離公式

在數(shù)軸上，如果點A對應(yīng)的數(shù)是a，點B對應(yīng)的數(shù)是b，則這兩個點的距離公式為：

AB=a-b=b-a （差的絕對值）

在數(shù)軸上我們可以通過這個距離公式，利用絕對值來算點與點之間的距離。反過來看，這就是絕對值的幾何意義(a-b代表點A與點B的距離，a代表點A到原點的距離)，我們也可以利用這個幾何意義來解一些絕對值方程。

例題1：數(shù)軸上A，B兩點的距離是15，點A表示的數(shù)是5-x，點B代表的數(shù)是5+x，則數(shù)x對應(yīng)的點到原點的距離是多少。

根據(jù)距離公式，兩點距離AB = 5+x-(5-x) = 2x = 15

所以x=7.5，即數(shù)x對應(yīng)的點到原點的距離是7.5。(注意此處不用解出x的具體值，直接根據(jù)絕對值的幾何意義就可以得出答案)

例題2：解方程x=15

根據(jù)x的幾何意義，在數(shù)軸上表示與原點距離是5的點，易知有兩個點15與-15。所以方程的解是x=15或x=-15。

例題3：解方程x-3=15

根據(jù)x-3的幾何意義，在數(shù)軸上表示與點(3)距離是15的點，易知有兩個點18與-12。所以方程的解是x=18或x=-12。

(二)數(shù)軸上兩點的中點公式

中點表示的數(shù)值：(a+b)/2

簡單證明:如圖，設(shè)A>B，P點是AB的中點對應(yīng)的數(shù)是x。

則PB的距離是x-b；則PA的距離是a-x；根據(jù)P是中點所以PB=PA。

即x-b=a-x 解得x=(a+b)/2

當(dāng)A<B時，也可以得到x=(a+b)/2；A=B時也成立。所以無論a，b為何值這個中點公式都成立，非常方便(不用分情況討論)。

我們還可以把它變形成：a + (b-a)/2

(a+b)/2=a/2 + b/2=a- a/2 + b/2=a + (b-a)/2

這個變形公式可以清晰的看出中點和A點（x與a）的關(guān)系。

還有其它一些變形，例如a+b=2x，a=2x-b等等也是經(jīng)常用到。