聚點(diǎn)定理證明柯西收斂準(zhǔn)則

證明：令{An}為收斂數(shù)列，則其必有極限，令{An}極限為M，故存在正整數(shù)N；

若{An}中至多含有有限個(gè)不同的點(diǎn)則從某項(xiàng)起{An}含有無(wú)限多個(gè)相同的點(diǎn)即{An}為常數(shù)列，否則{An}不滿足柯西條件；

若{An}中含有無(wú)限多個(gè)各不相同的點(diǎn)則根據(jù)聚點(diǎn)定理{An}至少含有一個(gè)聚點(diǎn)，假設(shè){An}含有兩個(gè)聚點(diǎn)d1 d2且d1<d2，令e=d2-d1，所以在U(d1；e/3)U(d2；e/3)內(nèi)都含有{An}中的無(wú)限多個(gè)點(diǎn)，這與存在N，當(dāng)m n>N 時(shí)｜An-Am｜<H矛盾，故{An}只含有一個(gè)聚點(diǎn)；

令其為d1,所以當(dāng)n m>N，｜An-Am｜<H/2（H為大于0的任意正數(shù)）時(shí)存在Ah屬于U（d1；e/3）且｜Ah-d1｜<H/2，所以｜An-d1｜<｜An-Ah｜+｜Ah-d1｜<H/2+H/2=H，故{An}收斂于d1。