求通項公式的7種方法 帶例題

以下是一些常見的計算通項公式的方法：

1. 形式遞推法：觀察數(shù)列中相鄰項之間的關(guān)系，尋找規(guī)律并建立遞推關(guān)系式。

例題：數(shù)列1, 2, 4, 8, ... 的通項公式是什么？

解答：通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，每一項都是前一項乘以2。因此，遞推關(guān)系式為 a(n) = 2 * a(n-1其中a(1)=1?？梢缘玫酵椆?a(n) = 2^(n-1)。

2. 集合的項表示為集合，通過對集合的運算獲得數(shù)列性質(zhì)。

例題：數(shù)列3, 6, 12, 是什么？

解答：觀察這個數(shù)列可以發(fā)現(xiàn)，每一項都是前一項乘以2?？梢詫?shù)列表示為集合 {3, 6, 12, 24, ...}，根據(jù)集合的性質(zhì)可以得到通項公式 a(n) = 3 * 2^(n-1)。

3. 特殊值法：考慮數(shù)列中的特殊值，如第一項、最后一項等，從而得到數(shù)列的通項公式。

例題：數(shù)列1, 4, 9, 16, ... 的通項公式是什么？

解答：觀察這個數(shù)列可以發(fā)現(xiàn)，每一項都是其索引的平方。因此，通項公式可以表示為 a(n) = n^2。

4. 等差數(shù)列和差法：將數(shù)列表示為等差數(shù)列的和與差的形式，通過計等差數(shù)列的和與差來推導(dǎo)通項公式。

例題：數(shù)列2, 5, 8, 11, ... 的通項公式是什么？

解答：將這個數(shù)列表示為等差數(shù)列的和與差的形式，可以得到 an-1)，其中a(1)=2。

5. 線性遞推法：通過構(gòu)建線性遞推關(guān)系式，利用矩陣冪求解通項公式??

6. 公式法：使用已知的數(shù)學(xué)公式來計算數(shù)列的通項公式。

例題：數(shù)列1, 3, 6, 10, ... 的通項公式是什么?

解答：觀察這個數(shù)列可以發(fā)現(xiàn)，每一項都是前一項加上一個連續(xù)遞增的正整數(shù)。根據(jù)求和公式，可以推導(dǎo)出通項公式為 a(n) = n*(n+1)/2，其中a(1)=1。

7. 生成函數(shù)法：利用生成函數(shù)的技術(shù)來計算數(shù)列的通些方法可以用于不同類型的數(shù)列，并且有時候需要結(jié)合多種方法來推導(dǎo)通項公式。

七種方法是:前n項和法、公式法、ns與na的關(guān)系式法、累加法、累乘法、構(gòu)造法、取對數(shù)法。數(shù)列（sequence of number），是以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的一列有序的數(shù)

以下是7種求通項公式的方法，每種方法都附帶一個示例題：

1.差分法

示例題：已知數(shù)列1，2，4，7，11，16......，求其通項公式。

解法：先求一階差分?jǐn)?shù)列，得到1，2，3，4，5......繼續(xù)求一階差分?jǐn)?shù)列，得到1，1，1，1......顯然，這是一個等差數(shù)列，首項為1，公差為1。因此，原數(shù)列的通項公式為：an = (n+2)(n-1)/2。

2.遞推法

示例題：已知數(shù)列1，1，2，3，5，8......，求其通項公式。

解法：根據(jù)定義，斐波那契數(shù)列的遞推式為Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F1=1，F(xiàn)2=1。將其改寫成通項公式形式得：an = (1/sqrt(5))*[((1+sqrt(5))/2)^n - ((1-sqrt(5))/2)^n]。因此，原數(shù)列的通項公式為：an = (1/sqrt(5))*[((1+sqrt(5))/2)^n - ((1-sqrt(5))/2)^n]。

3.求和法

示例題：已知數(shù)列1，3，6，10，15，......，求其通項公式。

解法：根據(jù)公式，等差數(shù)列的和為Sn = (a1+an)*n/2，其中a1為首項，an為末項，n為項數(shù)。對原數(shù)列求一階差分?jǐn)?shù)列，得到2，3，4，5，......，這是一個等差數(shù)列，首項為2，公差為1。根據(jù)公式，其和為S20 = (2+21)*20/2 = 230，因此，原數(shù)列的通項公式為：an = n*(n-1)/2 + 1。

4.猜解法

示例題：已知數(shù)列1，2，4，7，11，......，求其通項公式。

解法：觀察數(shù)列，發(fā)現(xiàn)每一項都是它前面的項加上常數(shù)，這是斐波那契數(shù)列的變形，猜測其通項公式為an = n*(n-1)/2 + 1。驗證得到：a1=1，a2=2，a3=4，a4=7，a5=11，......，符合數(shù)列要求。

5.配方法

示例題：已知數(shù)列1，4，9，16，25，......，求其通項公式。

解法：觀察數(shù)列，發(fā)現(xiàn)每一項都是它的下標(biāo)的平方，因此猜測其通項公式為an = n^2。得到：a1=1，a2=4，a3=9，a4=16，a5=25，......，符合數(shù)列要求。

6.倍增法

示例題：已知數(shù)列1，2，4，8，16，......，求其通項公式。

解法：根據(jù)公式，等比數(shù)列的通項公式為an = a1*q^(n-1)，其中a1為首項，q為公比，n為項數(shù)。由于a1=1，可以先求出a8，然后利用它求出a16，以此類推。得到：a8=256，a16=65536，......，因此，通項公式為an = 2^(n-1)。

7.解方程法

示例題：已知數(shù)列1，3，6，10，15，......，求其通項公式。

解法：根據(jù)公式，等差數(shù)列的通項公式為an = a1 + (n-1)*d，其中a1為首項，d為公差，n為項數(shù)。將前五項帶入公式，得到兩個方程：a1+d = 3，a1+2*d = 6。解得a1=1，d=2。因此，通項公式為an = 1 + (n-1)*2。