如何求反三角函數(shù)的導數(shù)

反三角函數(shù)導數(shù)：(arcsinx)'=1/√(1-x2)；(arccosx)'=-1/√(1-x2)；(arctanx)'=1/(1+x2)；(arccotx)'=-1/(1+x2)。

一，反三角函數(shù)導數(shù)公式

反正弦函數(shù)的求導：(arcsinx)'=1/√(1-x^2)

反余弦函數(shù)的求導：(arccosx)'=-1/√(1-x^2)

反正切函數(shù)的求導：(arctanx)'=1/(1+x^2)

反余切函數(shù)的求導：(arccotx)'=-1/(1+x^2)

二，反三角函數(shù)的求導過程

反正弦函數(shù)的求導過程：

y=arcsinx,

那么，siny=x,

求導得到，cosy*y'=1

即y'=1/cosy=1/√[1-(siny)2]=1/√(1-x2)

反余弦函數(shù)的求導：

(arccosx)'

=(π/2-arcsinx)'

=-(arcsin X)'

=-1/√(1-x^2)

反正切函數(shù)的求導：

y=arctanx,x=tany,

dx/dy=sec2y=tan2y+1,

dy/dx=1/(dx/dy)=1/(tan2y+1)=1/(1+x2)

以y=arcsinx為例，來求反三角函數(shù)的求導過程。

（根據(jù)函數(shù)與反函數(shù)的導數(shù)關系來證明）

設函數(shù)x=siny，y∈(-π/2，π/2)，它的反函數(shù)記為為y=arcsinx，x∈(-1，1)

函數(shù)f=sinx，x∈(-π/2，π/2)上單調(diào)，可導。x'=cosy≠0，y∈(-π/2，π/2)

根據(jù)函數(shù)與反函數(shù)的導數(shù)關系

則（arcsinx）'=1/cosy

y∈(-π/2，π/2)時，cosy＞0

所以

同理可以證明函數(shù)y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx的導數(shù)。

【補充】

函數(shù)與反函數(shù)的導數(shù)關系：

設y=f(x)在點x的某鄰域內(nèi)單調(diào)連續(xù)，在點x處可導且f'(x)≠0，則其反函數(shù)在點x所對應的y處可導，并且有

dx/dy = 1/(dy/dx)

sin反函數(shù)求導過程

2反三角函數(shù)的導數(shù)推導過程

其實很簡單，就是利用dy/dx=1/(dx/dy)，然后進行相應的換元

比如說，對于正弦函數(shù)y=sinx，都知道導數(shù)dy/dx=cosx

那么dx/dy=1/cosx

而cosx=√ (1-(sinx)^2)=√(1-y^2)

所以dx/dy=√(1-y^2)

y=sinx可知x=arcsiny，而dx/dy=1/√(1-y^2)

所以arcsiny的導數(shù)就是1/√(1-y^2)

為了好看點，再換下元arcsinx的導數(shù)就是1/V(1-x^2)。