裂項(xiàng)相消法的八大類(lèi)型推導(dǎo)過(guò)程

裂項(xiàng)相消法的八大類(lèi)型：等差型、無(wú)理行、指數(shù)型、對(duì)數(shù)型。三角函數(shù)型、階乘和組合數(shù)公式型、抽象型、混合型。

裂項(xiàng)法求和:

（1）1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]

（2）1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

（3）1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}

（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

（5） n·n!=(n+1)!-n!

（6）1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)]

（7）1/[√n+√（n+1）]=√（n+1）-√n

（8）1/（√n+√n+k）=（1/k）·[√（n+k）-√n]

這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的. 通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）

如：

（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

（5） n·n!=(n+1)!-n!

[例] 求數(shù)列an=1/n(n+1) 的前n項(xiàng)和.

解：設(shè) an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂項(xiàng)）

則 Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂項(xiàng)求和）

＝ 1-1/(n+1)

＝ n/(n+1)

小結(jié)：此類(lèi)變形的特點(diǎn)是將原數(shù)列每一項(xiàng)拆為兩項(xiàng)之后，其中中間的大部分項(xiàng)都互相抵消了。只剩下有限的幾項(xiàng)。